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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 -@.or #  
00s7$- N  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ^9v:pV`  
A{?ceT5-$  
　　1、三角函数本质： |}kfW[  
m?@Qd  
　　三角函数的本质来源于定义 DrZkR:zwr  
 inG:o0  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ih@)hY  
=R-W4a#*#  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 6(BRWe%M[  
EAt~)#UuH  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Iv!J>[ L]  
fN ]T<Q  
　　推导： }}4Dlq!%G  
AXNd<A  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 v.CM 5  
O U:^  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 4p nUV,s  
b-X#8  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ]12#.[Y  
wy*x{o+  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 E##=7rX>Y>  
uK:G d]V!*  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） !_9^>VC  
8ntz&~  
　　[1] ^/S> o  
l[zMT N`Sw  
　　两角和公式 tOvlK \&Q  
xC=r`nq}  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 7oi~rpTgf  
Ho%7bn^(4  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ABjs{S  
2(3\o^i%  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB /%oUBEX9  
;/Z:wny  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 7 g.?ja$;n  
`*qe,;U'v  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) G*RPH7j  
6:eJr j'R  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) =Dfu7wuM  
T*F5{B3zc  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  go#+)Pk0  
>~7  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) U,`7VYSA\  
Ue?FNW!V 3  
倍角公式 b{`xvAv  
zG[L6Jc.  
　　Sin2A=2SinA•CosA K`6-i;~I8e  
q^t fM  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 1TRIiBymX  
t3:qT{V(:  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） zb:_C+U#  
:s?CPZxcd  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） RUJ%<dSf  
r0poxB"?v  
三倍角公式 [ 3QF@C  
,\Xt  
　　 @PR/I#5K3  
 j"|9 }  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) rW"c,[@  
o('I6G!Q  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) pD!# QM,  
1[ zR p)  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) pZ>ESqfMm?  
yrKrY,::c  
三倍角公式推导 I6d?8Qfc2  
UsAcm5{  
　　sin3a &du<kZ'  
..surl)  
　　=sin(2a+a) 'b)OZ,2+7P  
GK K}:g5  
　　=sin2acosa+cos2asina #!hoCO%-  
`tQI|5<Jt  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina q<SG T  
j$+$MLj_'  
　　=3sina-4sin³a 1jBPd|ko/  
*omK%enY  
　　cos3a iV/ \hoI  
%dxi{egC5  
　　=cos(2a+a) & MXyAY`  
} PY|3\  
　　=cos2acosa-sin2asina O|m&VP/P  
&*36~@3@:  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa <\OgwSM  
Cc1pFJ  
　　=4cos³a-3cosa G\m+9>A4  
jat/+]E  
　　sin3a=3sina-4sin³a Y>6Z4 PvIf  
pa$O,_PnS  
　　=4sina(3/4-sin²a) -h] EXB  
,7#lss\ w  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] M.$!1oa;j  
= jFE)  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) hMcJTQ5  
D+jzW.5W5w  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) cw">W v*  
-pt%Ay^  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] O<)A3$>P  
RmWQNpt9  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) PXTI}vhH  
[s-z7zV*@  
　　cos3a=4cos³a-3cosa gZ+e E5B~  
EE[2J}F  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ,f,zT/~Z  
bQfMk(S  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] L]BKPKg#  
Pa$=  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) I#\@qCu  
E!o?4C`  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) &UeX.E-;(  
S]eyj ?R  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} fMPpn Zxp'  
0vIBV?ZQ(T  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) |X x z2  
C *hZq  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] wp*aTf  
kv)'8m,y  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 3^|/U@  
,qC~d8^d  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) d,$M3zn,  
F y9(^_x  
　　上述两式相比可得 ib<^0l&  
(kn7xa]g;  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Egr 3'A$<  
7V'jdqkc  
半角公式 "-{~Iuxx?  
g0u=?EGeT  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); &v/' 8Di  
KK:,k}H  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. J u/xzR  
!& #C-G8 8  
和差化积 9,2X$nuv?  
|v]lccf\-d  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ?- fZ9  
mw>v-RT  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 7 )^,d  
u>CDU42h  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ;Az>w,Cs04  
lV?da-=z&  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] pwl+\8KK  
8d]TM!3j  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ztz\N Oh  
KS$c(x  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) fTsL  
*:z)Od,e  
积化和差 \C`mR  
mLM,vQ4U+  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] }X%D<,nW  
Nc([tUZl  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] d:'JW="%  
PtC.E$iK  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] a@,.>  
!&.r  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] v;O "L9m  
np ID+  
诱导公式 Ez,+{c*J  
K,c!Y 7oo1  
　　sin(-α) = -sinα 3xcE,DJy  
_xeyV_*  
　　cos(-α) = cosα kGJ,E-0)}s  
^ 4F5a-  
　　sin(π/2-α) = cosα [I47i mP':  
<(Fd RQ?wv  
　　cos(π/2-α) = sinα +Zg/>b  
M3dfcg??  
　　sin(π/2+α) = cosα 6*jx`aE4p  
/m< D<I o  
　　cos(π/2+α) = -sinα <L4l  
h#EZXZU[  
　　sin(π-α) = sinα ;h"1Llp e  
/V"p.Z$&n|  
　　cos(π-α) = -cosα 5|6JzKi>P  
;{iE0V2x  
　　sin(π+α) = -sinα ONFov2Q  
P6.6 MY[8  
　　cos(π+α) = -cosα .= s= ~  
j7Ff/$A  
　　tanA= sinA/cosA A0: _/  
Dm51Rge=  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ||( Tn P  
Te8l1"3/  
　　tan（π/2－α）＝cotα tWZi 3Qw7  
;#}U}a!(  
　　tan（π－α）＝－tanα ]xAj0B  
c6c CblJ  
　　tan（π＋α）＝tanα |S%|rHN*  
#/?2iOP]  
万能公式 H0YTDe  
2Js]: RA05  
　　 <:$s` Ts5  
I)9$KHHc3  
其它公式 <xH($y  
( SteY%  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 g;LJcSSlJ  
 fd.Yh  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 H`%MddE"  
r]KV; z  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 jBU|wKo4  
HBjfyf+v  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 cdtX]e  
SsWji&Q2  
　　对于任意非直角三角形,总有 N@R8zf;"  
VM&^Kt  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ,M+'|&vuc  
g*^"%b\3  
　　证: H F*TzZ`w  
+MO=U5yF  
　　A+B=π-C cJ`[`+}H  
Rj_@cGJ{2  
　　tan(A+B)=tan(π-C) |YXbDvP~<#  
/CTi8nm(  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ,1J O;_  
{6hTbUhxZ  
　　整理可得 l?^~!s  
S7ES18*  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 71"s`yxa  
\ Gwu  
　　得证 m.Bm\f?  
#Q+u  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 e NKxdKQ  
z <e/0K |  
其他非重点三角函数 A5B\#7N(V  
70e\~2r!  
　　csc(a) = 1/sin(a) K$yI3LS  
In d4[p+  
　　sec(a) = 1/cos(a) pS4wMe >J  
'4w~  
　　 3gR&N}2  
h`/&< !uf  
双曲函数 ?Q@@c5 w  
?GHJktBN  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 WW:LUt  
10~Y72!A7|  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 _(W4xSP5  
e!TmGvLQN9  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) #X\d55tn  
/JM-,  
　　公式一： Co[)/t(  
Y)VsT!c2lm  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： )g~v;=D*  
Dr :gcU*|  
　　sin（2kπ＋α）= sinα t+ fySgDJ  
@1/)Q:^8  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Q&~b@L&8u  
B5VD2 Tu  
　　tan（kπ＋α）= tanα qm ] !?+_  
8z<&AMJJ  
　　cot（kπ＋α）= cotα Ti*P`M >kG  
fEOk2 4[H  
　　公式二： ,'}7*<' 7  
/)hF"noH  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： jf'? 0F   
Yg7,XfxCb  
　　sin（π＋α）= -sinα #BH~'P<K  
C<ozXS7*  
　　cos（π＋α）= -cosα pb9"d-Y*^  
#yAnThC r$  
　　tan（π＋α）= tanα QW- UwT 6  
B%~P1KP1  
　　cot（π＋α）= cotα ;^UFOEQz  
5O$#'[_Nx[  
　　公式三： Jt<c! a  
ss{Xi !~  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： oVG\\H  
sND5r@qE  
　　sin（-α）= -sinα g;;Qz1C(U  
M^C`!(k-  
　　cos（-α）= cosα Z{,lYAO!  
a0Z4f4  
　　tan（-α）= -tanα s. .3|'/  
3F\SmN(I  
　　cot（-α）= -cotα t#s8Z8Z  
9dX%%~?  
　　公式四： )A~'CZxI  
hjB+{|S  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： xFYsf]!<Z  
'QVKVM;7  
　　sin（π-α）= sinα Cwb^wN27  
d U!c\ ]$  
　　cos（π-α）= -cosα +-@xl ';  
i:qcB3n  
　　tan（π-α）= -tanα f\B-)z(2  
yd"}IplY  
　　cot（π-α）= -cotα 9Y<o" -  
4FWTSE {  
　　公式五： m96cmp 5  
~7!^EtM&}  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： rBkk_3@#  
"^:B  
　　sin（2π-α）= -sinα *! lO91]  
$:VoQr fC  
　　cos（2π-α）= cosα 3p>BW|HT  
+6+:  
　　tan（2π-α）= -tanα 3ySULA\_  
+ OBE"F}-  
　　cot（2π-α）= -cotα $X8gW l8  
\njFYPQ  
　　公式六： (5X^p-P:  
Is@E3(*  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： (@#C`kWE,  
I/F0M3Vu  
　　sin（π/2+α）= cosα NVDc_CI\(  
FN+#P  
　　cos（π/2+α）= -sinα PaR5j  
*v&t;QF  
　　tan（π/2+α）= -cotα /XPEBXQ  
EbyZTz1Vl  
　　cot（π/2+α）= -tanα Fgy*/BH?G  
p UX ;DPB  
　　sin（π/2-α）= cosα e }J ]E1  
a+l"(oeH7  
　　cos（π/2-α）= sinα ^ ,1SE,  
Vo#U]<~O>  
　　tan（π/2-α）= cotα {+L*;'uW  
~.IL8^  
　　cot（π/2-α）= tanα L~!KV "  
P:jx_J/  
　　sin（3π/2+α）= -cosα G <e!nv=  
(L2'Q!d?  
　　cos（3π/2+α）= sinα bVO2L/=  
-JrMJ#&  
　　tan（3π/2+α）= -cotα pYq5s@"8=  
Ols)p#  
　　cot（3π/2+α）= -tanα G0.PV"   
c,T7%HI;KQ  
　　sin（3π/2-α）= -cosα T-yb`?z 4  
uW[[s=k  
　　cos（3π/2-α）= -sinα {8g@<&^l  
-uMXM/k9J  
　　tan（3π/2-α）= cotα O'+*QJ=)h  
$n\K$ ObD  
　　cot（3π/2-α）= tanα $Xk q\  
;7<8<[%  
　　(以上k∈Z) qig*v\c0  
U [=tSx  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 YtJF'+u_<  
n>u\ZAYHq  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ?9%o8=fR  
 &c6fM0o`  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ^t ; jx  
v$S(y6"  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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