日历

2025 - 2
日 一 二 三 四 五 六
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
232425262728 
«月» 2025 - 2 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 >s#?E  
}XuM&S~  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. J)yv0`=%  
tD, $  
　　1、三角函数本质： =|~ QC hB  
g;nzp R/  
　　三角函数的本质来源于定义 FB51LiM*/  
:b/#{;TJ  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 34|3oBg  
q\#^Z^_x  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ). 'I:yZG  
v[Ziw_O*;  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Xe-~A?N*  
Uq2NJn^LX:  
　　推导： QP5r<-%Rl  
(6ntEvl{  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 pPbB^z  
~Cu[+D  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) y6E+3Tzl  
>S!!n+ jS  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) f@p*l*=c  
N$6/pb{H?  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 N9e2oV%~e;  
_ d) l+  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） c%kPY   
7CUpNq!v  
　　[1] Ng E@  
8jsiOXD  
　　两角和公式 [n gSh:  
U[X4 3*\  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Vw-:+9U >  
# U.}akG  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  mnjia5]:;B  
-5 8Q!  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ]eWD7`T  
*|,mZi6N  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 2.ZzK`$  
6> V$K}}  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) @e@?V\_ ,  
h(waD]  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) &S-(lv  
}AM@Z|,'  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  r'01AO X  
Mg{l8/O  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) *%N\ObG  
.'NxT=*  
倍角公式 d~FYz#6  
rI?<u3  
　　Sin2A=2SinA•CosA )"c[bSc  
I>`K |  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 /yO^L>dW  
4 D/IH,  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） |e]z1Or(  
nC([){R?  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） }9bKYXyp  
2VXMP Gj  
三倍角公式 *-gQE lJ  
aU+ ks  
　　 &!P?xDb[X  
J-l `mUn4  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) i*E'3rNrE  
q/t f76m   
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 94`>S  
62{M7Gfm  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) .|NzN6rBr_  
WMjPmm  
三倍角公式推导 }u`>*-$  
6F/>\+"  
　　sin3a /%X!6Tvp  
V>s<gXMk  
　　=sin(2a+a) &r?+1AWF  
\>arb<ZB  
　　=sin2acosa+cos2asina Qy2C)##  
)E~`bS"2]  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina W #\ V  
!G&I" lu~  
　　=3sina-4sin³a Z^))M{=K  
8v[Am"1d  
　　cos3a $9!?" ,tc  
XlC?B.YU<  
　　=cos(2a+a) hN.IE5;9  
k :ajypu9  
　　=cos2acosa-sin2asina K}FkivuB%  
ux.:ZZ)#V  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ^Mqf9$Vb  
LT>SRc!a  
　　=4cos³a-3cosa t7ENzg?$v  
M#Ay1Tz=g  
　　sin3a=3sina-4sin³a ,(rp#"'n'  
5mkLF7)  
　　=4sina(3/4-sin²a) 8Csq8fOL`  
joA&tdr8Y  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Bb=wU.I,'  
X, $QTC  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) yv^L+{g  
gz'F") 9~  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) +\<G8!6*  
%g F   
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] M>&vm\G('  
MDSd2 /I$N  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Q+WXRXe  
?*WG'U|,z  
　　cos3a=4cos³a-3cosa -yuo/>5 Z  
S7&/]JuT  
　　=4cosa(cos²a-3/4) /*V|yMMGU  
~O0RCbqdq  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ~ RkgGj&T  
-6)w"I<O  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Z$wZ  
ed{~oAJ.  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ] 3C)GC  
!fU AN-z  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Tf-D;TaZ63  
Ijj2':f!  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) R:nBV+g-  
8W"3gA<q  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 'ZA'Y nm/  
Z|%4ybT=i  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] wTJj2*J{/  
5iP]2^  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) JRjp>$L!  
v7;Pa8 nHJ  
　　上述两式相比可得 *xRd K*  
/(4dr+Sb  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) fM,@yb4p  
)hc>"  
半角公式 N$c!v=ok  
Bk:"MIZh3  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 3y[kd(2  
o=R`v~K$_z  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. -c2 3Am6  
k712RP.  
和差化积 9vxNm>:Q;  
] [7fk|zK  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] (dWL5:w  
]~4GuM  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] , rw__6#  
_ nLwp:z  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] faG*R '-I  
rx|f <j  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] [.|~@3jp$  
 y (7Q3  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) o4pzZyu  
[eB US4  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) tK< gs  
Q: pc  
积化和差 R g "S  
HETuU7 oR  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] .p?m!5c  
f%vnEL D  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] })GDw04  
8 0<iG P  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] i6>Rzc<4  
-@iABB_Si  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] [; CK  
`5ukx/y cY  
诱导公式 yVS)^H"9z  
N_ @(8E  
　　sin(-α) = -sinα :o}-bh  
f@YXo}v  
　　cos(-α) = cosα (~. ;&u  
JY=,&2i g  
　　sin(π/2-α) = cosα >WQX}eLDs  
;pBp*^4  
　　cos(π/2-α) = sinα K1A/BzQ^~  
im8b"TTE  
　　sin(π/2+α) = cosα {\iw%+ELd  
4],gAb~#1  
　　cos(π/2+α) = -sinα 9w|#q6lB[  
'J#F%<M&  
　　sin(π-α) = sinα "C +G H  
2~?Sw>o1  
　　cos(π-α) = -cosα [!$G 1&"A  
tu-7XM%  
　　sin(π+α) = -sinα R'-ghj~b%  
;0z?.VY  
　　cos(π+α) = -cosα  q>>mo[Y  
fL_6Z2%W  
　　tanA= sinA/cosA g|W?V R9  
5 lP Q&W`O  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα fl["1uc'?  
J8woS?G*  
　　tan（π/2－α）＝cotα @ 'szlvB;  
uO}jCS"  
　　tan（π－α）＝－tanα uQWl*k[Z  
M_u:%d@?%  
　　tan（π＋α）＝tanα eaop}@h  
~Wp% Gae M  
万能公式 j1^50Nj`b  
!i9o+?/  
　　 sVaCfL7<  
 g6o+h  
其它公式 Y]E?ZoK0  
.7aPd-6y  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ,QlUdKBE  
tO$W&68;8  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 +&vI,p%J  
Ak/eyxv  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 lFqZ8Rc;  
}:S%/$b  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 D_z* `o)|  
4b'Kz$K/5  
　　对于任意非直角三角形,总有 )Rl_  
|L sb  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC \)o|4TQ~b  
4$&Lbim  
　　证: Q,5.f M&  
|>pG+RE+  
　　A+B=π-C J%3c+:WX  
d{RXXt2&F  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 5Qwd!  
?OWr#l[W.  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Mxk=jA  
N(u=+/  
　　整理可得 Ifn\Vgul.  
?%V bxOM  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC h["#ZW_O0  
KyrDV<kZ  
　　得证 W3M%*\!*  
*P_u/RR7))  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ~MGmu<b  
dv TRoll  
其他非重点三角函数 WO&!|X)  
r"^X]<S  
　　csc(a) = 1/sin(a) 9h=P^%p'$  
pIMb HQ5  
　　sec(a) = 1/cos(a) @>hHnE0Q  
{cbP2dRL^  
　　 YV}&{e,oa  
v( p} >S  
双曲函数 !|3Qm  
PM \Z9_  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 2OZ ,l6G6  
[]g#<\yvZ  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 AYc@<  
q_l>Wn=y  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) (wubO@YB  
s!h@oNSL  
　　公式一： ^iv>  
b`zK#Ur  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： -GeAJzq  
jM]A1 \< F  
　　sin（2kπ＋α）= sinα |t]ng-$.[  
f ?d7e  
　　cos（2kπ＋α）= cosα T B-ompOE  
R@!QM  
　　tan（kπ＋α）= tanα _dj U  
$hno^xm!  
　　cot（kπ＋α）= cotα rig+)H81V  
?NED;!c E  
　　公式二： @>6%R<CQ  
0VF*v0@9  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： O;=zHia  
xh^x+h z  
　　sin（π＋α）= -sinα q &fb+R6y  
Q/1R# -Ga  
　　cos（π＋α）= -cosα M{r3"\)  
TZI7&  
　　tan（π＋α）= tanα 0Hox=mroo  
sv#9nvl\  
　　cot（π＋α）= cotα +t5nc ql  
ql':a(|  
　　公式三： _c_^  
IeSJ0VT  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： H"PtjtP  
$A t@kc4  
　　sin（-α）= -sinα jVTiP(h/  
EFV"[i  
　　cos（-α）= cosα .* dG-g  
<Ln%IpN  
　　tan（-α）= -tanα Fci1t:^'  
'F='34\XA  
　　cot（-α）= -cotα aUFZ&  
|8 Q]'R!  
　　公式四： (\\B#nI TZ  
^C[UI_%  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： *HE^= 2+  
7 3Iw/hB  
　　sin（π-α）= sinα giP6oZ;z  
ocYUH`ym`  
　　cos（π-α）= -cosα Y.UiKy&ABs  
{'xlsA`  
　　tan（π-α）= -tanα qPM!q(;!  
K|Kd^T]  
　　cot（π-α）= -cotα va -TgS+N  
'4x|jb3  
　　公式五： hbuP -RI  
)#S<p{  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ! x/'fu]B  
I\'U(3(R  
　　sin（2π-α）= -sinα v?Y N yYw'  
S6pT&!  
　　cos（2π-α）= cosα 3|+w3Z`  
m%?_ c  
　　tan（2π-α）= -tanα (w8c^446  
a,K ]ucJ(  
　　cot（2π-α）= -cotα 'Iuxr  
sgy}(v   
　　公式六： ./+FqO  
vJ*7 z3  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： x\k8W$k  
<]mD2+X}  
　　sin（π/2+α）= cosα y#V*qUlC  
dQlC8 v1  
　　cos（π/2+α）= -sinα w>/Q'VLi  
e\fd)r1Q  
　　tan（π/2+α）= -cotα jXcJM?#Q  
`z0*^t*  
　　cot（π/2+α）= -tanα p>Nw=SGb&  
&D_~lQ"V K  
　　sin（π/2-α）= cosα d{bNi:W  
~b ) Az}  
　　cos（π/2-α）= sinα 5V8iSFY)  
".:I$lS`  
　　tan（π/2-α）= cotα >n?V,  
xi. cod  
　　cot（π/2-α）= tanα c VT2l~Y8]  
0:(r}g tCa  
　　sin（3π/2+α）= -cosα rb5`Ln"  
Qd.whi S  
　　cos（3π/2+α）= sinα f(q AUE5  
Ov;$+'G  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 3iEZ/!xhA  
!_<8e@)bDv  
　　cot（3π/2+α）= -tanα OKC BEBT  
ULybV{74E  
　　sin（3π/2-α）= -cosα K/rTk_VX  
IO`< "/1  
　　cos（3π/2-α）= -sinα RC <}Fqc5  
q\\{gu qK  
　　tan（3π/2-α）= cotα lRzug\htG  
[XQ}c;MK+  
　　cot（3π/2-α）= tanα FN& .K-*j  
2@KB!z;oLc  
　　(以上k∈Z) 1mvFT 6r6  
OFRD nXF  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ~-Ie Gf  
{D;a<C0*f  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = W}' {&#q5  
Y[x8`~lN  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 8Fok_A>  
JkT;rM6  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15419) |  收藏