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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 e/W.YeF  
ig}Kfyp  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. :V4=YE%v]  
J&NhZCo+~  
　　1、三角函数本质： 7HN5W ^  
!nk,zds ad  
　　三角函数的本质来源于定义 NH>\u"u  
pAu</4nL  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 /8njrrrM!C  
ovguLI\kT  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 6V{o2f#  
C#!L@DSA  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 1H:fu093  
LVzBrAQP-  
　　推导： ^eP*%;  
#$S; *y  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 &&QSDj9  
$ho41Qg  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ?*BfIgXOe  
`!/tf?mDjz  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 7X_+E?  
Ccl,x>  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 52O qz  
.f6 $K @  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） GAeTH;jj  
J`d(tN  
　　[1] Vou!N>IW  
!t}W5^  
　　两角和公式 ?;~(OjWn  
/IoMkK~  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB !T;\`f+ U  
]]4|z A^}  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  w<^Ed0"Fk  
pfP{/  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ;i[ebAquWu  
%iX NR-g#o  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB &~ pDL X}  
s 0? u_Hb  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) V>WQW0%9}  
#8$|)SD7_  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) g#}P;*#m  
H{(:_>?>@&  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  j7 P1TC`  
J9h a_  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) t "mG2D  
%_r{5cE:!  
倍角公式 x:+O!\81  
U4K6oVlg  
　　Sin2A=2SinA•CosA }D6-N"U  
HgUo?XME  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 )]3.I!J_  
2&$ e  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ;Vm> 0$  
VTsEBN15>  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） msyY}B)G  
~r`InMR  
三倍角公式 [5V`\   
c`SM"#Z  
　　 =1\@H { X  
f8<KLA0$Q  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) >&Nub%K3  
)&treTtWRT  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) a0KTOq7YT  
ND ]? bj  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 9;O4Q (  
LwYu9n4y  
三倍角公式推导 !|[V^ew$  
v%jcj^"fq  
　　sin3a .1_:K S  
6k[- T  
　　=sin(2a+a) gogHfxk  
ww`>X~K:  
　　=sin2acosa+cos2asina cEpjw)w  
XuO^|j;/  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 'KL2\y$a}  
!D)GijiY  
　　=3sina-4sin³a UI~9Wgh  
fzny<j~UU  
　　cos3a =x 38LiQ  
D3NdjML  
　　=cos(2a+a) B' n wNl  
1f4dV %  
　　=cos2acosa-sin2asina X"XikVj%  
O SZolp@y  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa O(X=xws66  
3{)OPEt  
　　=4cos³a-3cosa `zE6y  
ybG# g  
　　sin3a=3sina-4sin³a j3lF4fjf7W  
I[Dm)2P  
　　=4sina(3/4-sin²a) g,[x M#  
*7-onQ2QR  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] rQOSY\(#  
#~SKdoY$^  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) K_wx*xI89g  
$:Ip%z  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) \tL3rIMa  
3,ebYJ@1K  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] L2y31X  
K;*QJM-(y  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) |><v;C_  
R[CLIL%'  
　　cos3a=4cos³a-3cosa qN{6mf+T  
b^ ,cP   
　　=4cosa(cos²a-3/4) Su_6Y}`%UR  
vQDy R"f  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Hc;je wvdd  
sYu1n=3/  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) hg*TX  
vSSX+;{  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) p2g~u:JTo  
vgk7 &L  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} .7k\"lDUiD  
 !4\Z)d  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ~4l@IDX  
nNKIy'  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] M^S-Xf$  
u&@^j BN  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] P]3Ra@m<y  
6X3)4R2$$  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) $OQ?g 'r*^  
/{DvpAR  
　　上述两式相比可得 q/r[ggj=tT  
Q@V7R  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) P(=Bz@zl  
nc-.nO[  
半角公式 ,'R 5\e}  
XP !GnRi  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); t'qpG|.W?  
"$Cw|]E\E3  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. wcb+74'&Q  
iO\I":  
和差化积 |Qw;C;`e   
Ov#ihy;;  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 93Iy|  
=b@5S9  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] hT7yc I2  
OFfC8  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] c>a`W`  
MI)BC~H!  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <usM"f y>0  
.>^$LSX  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) mmH#5MKL"  
G~`0`"7  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) '=xU]CAOe!  
@2+Ba_B\v  
积化和差 iRIp Q  
IDNPxCv  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] }#(qH,}  
15*&T)R[v  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] m+R]H% X  
 47c.Dc:  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 0M:10mxZ;  
">2.m|F  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] >`Eh^ ^50l  
Qc+$6 ' 2  
诱导公式 ,H7jkidp  
s-faW"r  
　　sin(-α) = -sinα L I\wKfZ  
f8FY#T n  
　　cos(-α) = cosα v M^XKD~  
j!.j~upd  
　　sin(π/2-α) = cosα YrXzB*@u\  
A<[3Y?.  
　　cos(π/2-α) = sinα /{(.<m1  
!Bdj@=-Y_  
　　sin(π/2+α) = cosα lgtNg@3&  
i7wWppl8  
　　cos(π/2+α) = -sinα DRm&Lms  
n>H` V  
　　sin(π-α) = sinα R'w{9l  
K~Wbe;13  
　　cos(π-α) = -cosα i9"e,"GT(  
JX`^SN.  
　　sin(π+α) = -sinα 3M$F9  
U >N$2 4  
　　cos(π+α) = -cosα ,%[) ES*  
M`J6!F Syl  
　　tanA= sinA/cosA 4uT8pq  
<Xl[lPb  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα MZ8;9$  
.}:aBJUY_p  
　　tan（π/2－α）＝cotα Dy1N) 9@PW  
mN%e^$[{H  
　　tan（π－α）＝－tanα WDy#ZkEz8Q  
2p@.>$`h  
　　tan（π＋α）＝tanα 6sB>Ob/Di?  
&-"!~6;  
万能公式 4pK'3'}-0  
6aCLCG~S  
　　 D8|s6q.\6  
;J.#N5)73  
其它公式 x`Pu}(sb51  
 g5S8v  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 [)Y $DFx  
gefkL5U* (  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 Ai.q=LTXB  
MVpvPBLq!_  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 -caV1  
"~#Q X  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 1D9uC U#  
r<5W<WQ  
　　对于任意非直角三角形,总有 hAbmoe>g}  
O}@dWgS  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC .2;3S]tj  
J)_BCnPQ  
　　证: e{Tq{q;  
DG7!"#tk  
　　A+B=π-C ( s,.I  
f:O@r3u  
　　tan(A+B)=tan(π-C) w#T0!WW  
ZF: =a  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) CM+;\oW4t  
L*?v4-CB>  
　　整理可得 }^YFJz$'   
@Z"CQDK_  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC nGg,cb(/'  
WK:a4  
　　得证  ,es/g0  
j.qu fX  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ".*@3_Gib  
6a&3Er  
其他非重点三角函数 iDlU=oM1f  
NqdY)0 t  
　　csc(a) = 1/sin(a) /4w *iH9  
7nOmz[lHls  
　　sec(a) = 1/cos(a) 1SZQ@J>  
_AP t[nmd  
　　 V^SOou  
i,6 /^\  
双曲函数 dGkRdP*#n  
vta'A.k  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 z?K_(kg  
LFv?s-x[g  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 kgleO@;D  
xP p}  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) qh?rk%zy  
_O}"i,V/`e  
　　公式一： N{g$K=D(Ls  
ki]O6  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 'M:&_PaB3r  
)v A  
　　sin（2kπ＋α）= sinα c0 4 *w  
zuQ:kN1wx  
　　cos（2kπ＋α）= cosα %dWo +I  
F Utb  
　　tan（kπ＋α）= tanα Iv n$P   
;O58Ea~Oa  
　　cot（kπ＋α）= cotα bDr 2$_i  
/FQ7 5S  
　　公式二： fPU>AS\!  
9N + K  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： y.$W, O-  
Zz}ZQD1)l  
　　sin（π＋α）= -sinα nm#)@, 8I  
R19,M$G]n[  
　　cos（π＋α）= -cosα J4tSxC8  
a]`S+9D:  
　　tan（π＋α）= tanα *h`szYxk  
U!pgd`Sf@1  
　　cot（π＋α）= cotα kOlNJ  
[X2N0?Rj  
　　公式三： m,Zo8+0F>/  
`$[{smu  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： T>voMQaC  
8n={,-t  
　　sin（-α）= -sinα ARq*lXN_e  
@Z\!)9JQ  
　　cos（-α）= cosα JT\?24v  
(g B)[|qt  
　　tan（-α）= -tanα B6jtD3 UP  
LsC~e;_#k  
　　cot（-α）= -cotα G$a(u Jl  
C<IvFahh$/  
　　公式四： iAk" >qM.  
<^ pPpW  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： l&~a3~qv  
)U9Q9X<N|  
　　sin（π-α）= sinα ?""_hT  
H m!FX@^C  
　　cos（π-α）= -cosα EHcl{ci v  
x_)bNZ   
　　tan（π-α）= -tanα vD 2=p  
]g? J+  
　　cot（π-α）= -cotα +Mb-*'$|  
VZ]JBC|5  
　　公式五： ?biqB1VSwq  
}cT7 w.ee  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 4p\F?t|  
Q["5xR#k  
　　sin（2π-α）= -sinα 6%N+\X  
R"X3  
　　cos（2π-α）= cosα -ZLD+;b  
~4ic|J*y  
　　tan（2π-α）= -tanα Hi_cv  
bqjtBBm  
　　cot（2π-α）= -cotα @n5'?%jo~1  
SYwi],c  
　　公式六： L#uq]?  
GoCY|RH&r  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： XlpEkJ7Xg  
l4xj{cH  
　　sin（π/2+α）= cosα xVl5_ E  
"dO0@T3;  
　　cos（π/2+α）= -sinα %Gkn:k]  
U\oeL} ,g>  
　　tan（π/2+α）= -cotα ='D6LC\G  
W7e.<`oL  
　　cot（π/2+α）= -tanα LR_'l'b Q  
JO R=ACT%  
　　sin（π/2-α）= cosα  e"&!@u  
0*# a0Q%X  
　　cos（π/2-α）= sinα eIkrIN'  
J.z=rt[]  
　　tan（π/2-α）= cotα GhD(;jiu  
n|u x Jd  
　　cot（π/2-α）= tanα Lqp7^Q6f  
Y+hS"`M-  
　　sin（3π/2+α）= -cosα l\'PS"U)  
MW#/}D0V<  
　　cos（3π/2+α）= sinα jJ!Z >  
Dv# DDnZ  
　　tan（3π/2+α）= -cotα  ;\;=JXt$  
&`%_:s#U6]  
　　cot（3π/2+α）= -tanα g u/6  
Q!)8QJ$  
　　sin（3π/2-α）= -cosα k0Egr,   
Jt~^(YP  
　　cos（3π/2-α）= -sinα M@\b2bWlz  
9vs^rKb  
　　tan（3π/2-α）= cotα M5^L% O1  
*,$+3w  
　　cot（3π/2-α）= tanα {%~O#a~  
D#|nMb"<R  
　　(以上k∈Z) l7d@e9PC  
e44R;)v~I1  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ?*PE?I2  
uJpyr_i:%  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = UTGBJEQ  
BbmFk{~+0~  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } [ p6<) /)t  
8o0$R pR  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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