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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 wLOB*gQw  
3O5,Y3m0C  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. [wB}? p8  
6ai2HiD2O  
　　1、三角函数本质： :m5K={hl*  
S|o`50$x}  
　　三角函数的本质来源于定义 Pa"xg 7w  
Xsx-Ol\  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 =pR18le_]0  
DPm>P%L  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 (WInw}_T]  
3`jJ+P;q  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： IqDSHuGfT  
y vb0XnJ  
　　推导： \B;F/  
#:!P3LxVJ  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 {!>}ZHaY6  
D:#'!K  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) <9ZlO@mbZ  
,wpr[{l=  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)  ibd8/VG  
=@Gu,M_nG  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Tl@4 xs> Q  
;(`AZE*Q(  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ^noO~?k  
_\+N %s!;v  
　　[1] Wh9K#  
Vpxvngx  
　　两角和公式 W/0<gW(  
vEmuJs.7  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ? Sq@ ~   
;J^_nL(ng  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  yZeD`FM&  
|:ZF~,o  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB E[_8z HQm%  
D2 0|2  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB #rn|"@%R\  
JiB'%9  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) PP^ U+  
e ;,$ r  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ^$,'3tm  
Er8kL==  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  #L_BPMZ  
^2GNRt&O  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 5d4}]AUC  
p5)Z^;oS9  
倍角公式 ur f!k  
74TQvo.g  
　　Sin2A=2SinA•CosA ._& rIpi  
Z j=(  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 )L3~p8*  
;8bx6  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） J#PhaY  
]~"v0SQA  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 6m442k"O  
~il vL)  
三倍角公式 I]~`\3b  
4^Ec/>.  
　　 ]9zv8l`@/!  
g((<w  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) y2[oQW  
:-9b"D4  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ar]=}s8&On  
aT)3n&  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) PHr,Vp  
5#0$4SuUV  
三倍角公式推导 T bFC6RMz  
;[Z*,PC   
　　sin3a 8Tl.'ELZ  
hH?I Mj])  
　　=sin(2a+a) P.N $ 9  
k#@6pPB1&C  
　　=sin2acosa+cos2asina % zK^$W_Z  
K@M7PJKv  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 1[I{DD4  
?PTC8QW  
　　=3sina-4sin³a 3GLDL"xr  
CvW-]  
　　cos3a ]`\#1IW;w  
G{QPR  
　　=cos(2a+a) ]7W)PjiPa]  
bke6@ $p  
　　=cos2acosa-sin2asina 2$*( Gw6  
-h$R Zo  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa @TfZDA\  
%V F~:pB  
　　=4cos³a-3cosa @5+E,Cus;  
w8.n)D  
　　sin3a=3sina-4sin³a r|Q$]:@D  
n:~8?0x  
　　=4sina(3/4-sin²a) bscCR7  
WU+6.%+\  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] b &h:/!  
DyC l  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Cy=F3R-S  
 ARo<\B  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) _C;`8^?5p  
|kq CqZg  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] $`(=g]-U  
]ycG?X  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) m"sK8  
I%[AVk(S  
　　cos3a=4cos³a-3cosa }?i?.ZY  
]>|>G}V]+  
　　=4cosa(cos²a-3/4) _FXiZ 7xz  
'U*F_\_ b(  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] )tj(9^/  
BUr!Pyg  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 4{ IW7d  
Y7ZX;94.  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) `Z_ [z6$I  
zqpu 6MC  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ;%p`x^402  
/zFiFNQZ[  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) GeM y:  
4QlMP"p& (  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] `r]=Q0%  
w+a+Dti `  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Qh[8;jvj  
e:s>9,bt  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 8V`n'.h_`  
tzDpJg6|7  
　　上述两式相比可得 lem8&  
'M")Ej5h  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) f$K]6*Gy  
vtE_k2Fx  
半角公式 c-"$I/:%  
ix |:2U_~  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); H?A,4]  
5:;0%  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. $#4?q`NLp  
> oW33#  
和差化积 *VS<+_~Gi  
TJ`#268K  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] q{>b,w7a  
:i VGR  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 9yO'DFSj  
XC4{t=n Q  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] >[ ^[K>  
NU97pq\  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] q]pRN]s9}  
+~{1AI|R  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) W*=~}Sre  
:)Ph*Wo  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) gQG 86!  
rD0_veexNL  
积化和差 R_ vr`i  
b CPuT=  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] s45e>>  
RO8!d!= h  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] S:i0!<WH  
!I$ M (  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] s2M7k/^Hc  
i,eU?oJk  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 6`a}$a%  
\R7kP-  
诱导公式 zV){0le  
]g@Bg?4  
　　sin(-α) = -sinα 9SUi,g  
^'^D=^  
　　cos(-α) = cosα H.sp P;  
*pPAs7" n  
　　sin(π/2-α) = cosα iZ7j&{'  
{E F6='u>  
　　cos(π/2-α) = sinα cd-wCWZ,'  
.9XUjo~9  
　　sin(π/2+α) = cosα 8y+aRuS8  
p"F@I9ckU  
　　cos(π/2+α) = -sinα 1Qw+pc  
U?m?+~&  
　　sin(π-α) = sinα &'w_y@  
HIj& [0@z  
　　cos(π-α) = -cosα $]L8s ^6  
8*Nk45Hs^  
　　sin(π+α) = -sinα K7cv(]k  
^Vu}U (X  
　　cos(π+α) = -cosα ILn9:x  
*:06""H  
　　tanA= sinA/cosA G6n,Ko  
h6TOggww  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Vtk[2i  
vB5Q6B#k  
　　tan（π/2－α）＝cotα c{XSQ pp  
7^ s'l3P  
　　tan（π－α）＝－tanα }OcDOLdH  
2B9K:  
　　tan（π＋α）＝tanα 8U^ Hl;;  
K(BgFx:u  
万能公式 -rC-dFv  
*&=/p_  
　　 Xnx_k}{u  
LkDQ2Kt|  
其它公式 Tt2`-"}  
Q P`7B@  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 e) <B5+  
mu gu J{  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 Lys.g>d  
r2P%S  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 aZ,$ js  
"w!/   
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 6?[,~~Nz  
k^w~5Kl9 d  
　　对于任意非直角三角形,总有 b+u+~]b  
$a2I"D  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC % 7q kH  
O *2he/)o  
　　证: ml<Ec=UC  
@Z]]wA}q  
　　A+B=π-C i-t2/Dzc}  
E 6L&qD [  
　　tan(A+B)=tan(π-C) W+T1kZR.'  
(/T5lop  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)  6]Yk),  
%*jVg5,   
　　整理可得 Xn\64&9-  
u<L3A +  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC " yq=/X  
It`8*s}B  
　　得证 !4"Z2 F  
eWTf~hUZ  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 8U" ey"JX  
Jq3N*J/Q  
其他非重点三角函数 5Mi[2A7U  
) f^Hs(i  
　　csc(a) = 1/sin(a) ]^Uyg  
*%OlODz  
　　sec(a) = 1/cos(a) P.IWO3  
,6f` T)r  
　　 CmS +Q]t  
3kEd-:  
双曲函数 &e?8;Q`"-  
Un:#^lP2Z)  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 G|"-,cmG  
^?L$o(j)[  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2  s,Y*j$?  
^6 MCKDc  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) LpbSG`&wp  
M dq=sEP\I  
　　公式一： 0v%nTY2qd  
'HC+&6m|#  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： QC )BE&  
Pf!2szE'*  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Qwjf|`QiY1  
<t^:F1V(.  
　　cos（2kπ＋α）= cosα %'~+)iO/;  
'PFl1']TV  
　　tan（kπ＋α）= tanα !{&DDca2S  
>M360R $l  
　　cot（kπ＋α）= cotα 1zp%9p '-  
]n,ZQT'iw  
　　公式二： Vx7vB*[,k  
Dy.Iqr^$E  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： }#)lH7  
+.L1GD   
　　sin（π＋α）= -sinα Cv{6LW?  
YII"0?=g>  
　　cos（π＋α）= -cosα nHovlen  
3v m290{Q@  
　　tan（π＋α）= tanα Tbak Y  
hI6c;a!=o  
　　cot（π＋α）= cotα RX/dW)%8  
jV=}VF"  
　　公式三： KwET  
a&wwH:"  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： .`mT}6hwi  
8< m:5"  
　　sin（-α）= -sinα RJDX: P  
B,r>[EZ  
　　cos（-α）= cosα 5cOKn!DG  
ugkp3AU&T}  
　　tan（-α）= -tanα :nT)lUu  
I\h ddbK#"  
　　cot（-α）= -cotα ';t'LR  
Y+f~v ;  
　　公式四： #Y*'{>J  
E.fS@l  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 5{OL3 ~)<  
B|>wtt\  
　　sin（π-α）= sinα 6dM hw/1*  
<fFK/kY  
　　cos（π-α）= -cosα OEa-?{x  
6hNOKm@z  
　　tan（π-α）= -tanα Vb5$~\zw  
.>=-E?~N {  
　　cot（π-α）= -cotα 8J?vnRr<[  
kY+8-%~a  
　　公式五： KY{:0'q{"  
 AC.m`  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： }Z>F2/|N  
D)<;S$$Na2  
　　sin（2π-α）= -sinα 6A#kNS%n  
YA9qT&  
　　cos（2π-α）= cosα g>?R>  
P{3thlE  
　　tan（2π-α）= -tanα H9Rv;~D-XF  
ZrpqyGADJ  
　　cot（2π-α）= -cotα jTFw Q\G'  
mud& 6!Y*  
　　公式六： ]On1ECh  
?lETRpvG  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： fc>~Bsgi_  
9/LTUw.x;[  
　　sin（π/2+α）= cosα "`T`@f,  
Q!ae N&d#  
　　cos（π/2+α）= -sinα b+J`j  
/J>VKY5  
　　tan（π/2+α）= -cotα G%"7iQ\  
h8s)!._  
　　cot（π/2+α）= -tanα H\ *4'w  
Yb"#he'Io1  
　　sin（π/2-α）= cosα 0B v1Y  
m mV9+-  
　　cos（π/2-α）= sinα 4yj'cB^C  
vG^a6m+"  
　　tan（π/2-α）= cotα )?J|(YM:c  
NI-d_z#(E  
　　cot（π/2-α）= tanα U-v}/dx m  
H+KZ`1E~#P  
　　sin（3π/2+α）= -cosα i, mi&>J  
N|a: (s'  
　　cos（3π/2+α）= sinα ;^hp%#?X8q  
j tcWT  
　　tan（3π/2+α）= -cotα J<p+)l <V  
wus C=|MM  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 0svB>,  
%DdD^qYq  
　　sin（3π/2-α）= -cosα z94<fJ8  
$FYu G$  
　　cos（3π/2-α）= -sinα <2A0Y,<6U  
Z3 zFv 80  
　　tan（3π/2-α）= cotα .>V On~  
YGQ +4 y  
　　cot（3π/2-α）= tanα &L,VVQ  
BsWZy>W7  
　　(以上k∈Z) r~m<v]N.  
MRrdWp  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 NDi8{C  
UqYyH K  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = P_"|i=:n  
|*hnj\#7#  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } UW"r7rX}  
?GR:Qrd0  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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